はなう式blog



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面白い問題

こないだ高校の同窓生であるtumuさんから出された問題。面白かったので通りすがりの人で数学好きは考えてみてくだされ


A)3+(26の3乗根)
B)212の3乗根

AとBはどちらが大きいか?理由とともに説明してくだされ☆
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2009年 東大前期 理系数学

昨日は国公立入試です。東大数学を解いてみました。大体80分くらいでざざっと。

問題はこちら

2009年 東大 前期 数学(理系) 

第1問 整数問題 やや難
(2)まで文理共通。「数学的帰納法によって」という問題文が救いになっていて、
やりかたが決まっているんだから強引にやるだけ。
(3)が若干めんどいけど証明しにくくはない。でもこれは得意じゃないと気づかないかも。。。受験生ってこういうのなれてないんだっけ?大学生向けっぽい問題。

第2問 行列 やや難
(3)を10分考えて、方針が立たず挫折。解答見たら、そこまで難しくはない。行列が苦手でないなら完答を目指すべきか。

第3問 確率・場合の数 易
文理共通。できなければ落ちる。(3)でなんかものすごいアクロバティックな解法があるに違いないと思って電車の中とかでずっと考えたけど、なさそう(ショボーン。なんか数列かなんかになってると思うんだけどなあ。
入試当日はそんな奇をてらう必要はなく、正攻法で場合の数を出してしまえばよい。

第4問 やや難
今回一番面白い問題。
入試当日も、かならず手はつけたい問題。(1)の答えがとてもきれいで思わずニヤッとしてしまった。(2)はといてみるとあれれ?あれれれ???ってなる。解けそうで、解けない。結局球の切断立体という考え方にいたりました。つまりyやzで積分しなかったのよね。代ゼミの解答とか、そういう方向にいたりませんでした。

第5問 やや易〜普通
2番目に面白い問題。まず、問題設定が面白い。0.9999だってププッ
(1)が解けたとして、(2)を示すときにちょっとだけセンスがいる問題。わかればあたりまえなんだが、入試で解くのは地の賢さを要求される気がする。そういう意味で楽しい。


第6問 難(?)
正直(1)しかといてない(爆)。ベクトル嫌いなんだよ!!!!ということで、難しいのかよくわからないが、はなうには難しいので難(?)にしておく。
こんな問題が6問目に出てきたらはなうは絶対に解きません。


総評:
1(1)(2),3は必須として、残りで得意なものを2完すれば少しくらいミスしていても十分合格レベルでしょう。例年よりも若干難しい?かな?

大学入試解くのも結構楽しいなあ。後期も解こうかな。
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2009年 女子学院 算数

インターエデュの問題公開量の少なさから、最後になりそうなこのシリーズ。

今日は女子学院。問題はこちら。今年はサンデーショックなので2日の試験でした。

2009年 女子学院 算数
40分 100点(はなうの記憶。違ったらごめん。)
はなうの所要時間:29分

総評:
普通の集まりながら意外とひっかかるイヤーな問題集

とりわけ問題が難しいとは思わないけど、ちょっとずつ解きにくくなってて、実際に生徒が入試で解いたら間違えが続出しそう。例年よりちょっと難しい??かと思う。
1,4,5が必答で、2,3,6で半分以上できればとりあえず受験者平均以上確定。差をつけるには8割が必要。

個別評:
1.基本問題  6分
特に難しくない

2.表の整理 普通 4分
算数が苦手ならすでにひっかかると思う。結構難しい。実質的には、これと3番で合否が決まっていると思う

3.速さ やや難 12分
忘れ物したりバイクや車に乗ったり毎年大忙しのJさんとGさんの問題。今年はGさんが忘れ物。(Gさんが忘れることが多い気がする・・・だれかカウントしてくれないだろうか・・実はJとGにはキャラ付けがあるのかな??)

グラフの理解、話題の整理とも結構ひねられていて、解きにくい。女の子の学校であることも加味してやや難評価。とてもちょうど良いレベル設定と思う。

4.立体図形  1分
一瞬でといて次に行くべき。

5.数の性質 普通 3分
この問題セット唯一の「ニヤリ」とできる問題。難しいとは思わないけど、 「出されてみると見たことがないタイプ」 の典型。小学生は見たことがないタイプだと思うので、その場での対応力が求められる。はなうはすごく好み。解けちゃうけどお茶目な問題で好き。

6.図形と速さ 普通 3分
5とは打って変わってとてーーーもよくあるタイプの問題。この手を見たことがないというのは論外。見たことがあるだろうから、思い出しながら試行錯誤してほしい。受かった人はほぼ解けていると思う。
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2009年 桜蔭 算数

昨日に引き続き。中学入試。

今日は桜蔭。問題はこちら

2009年 桜蔭 算数 
50分 100点満点
はなうの所要時間:26分

総評:
鬼。まさに鬼畜。 

算数が概して苦手な女の子に、50分でこれを解かせるとか、鬼畜的所業。おそらくそこそこ速い生徒が解いて40分という分量。たぶん3,4割の生徒は終わらない。開成より10分少ないとはとても思えない分量。

例年そうだが、桜蔭は、あきらめの良さと、解答の数字にビビらない豪胆さ が求められる。これって女の子・・・の学校だよね。。。


個別評:
1.計算/文章題 普通 はなうの所要時間 8分

1(1)から「易」とできないこの鬼畜さ。まず計算問題が鬼。1(1)△之彁暫罎
分母が650になったときどうしようかと思った。
苦しめようとして問題をつくったのがありありとわかる数字設定。マゾ専用。

1(2)は開成の最後の問題に類似したカード取り。それでいて1/1の曜日から9ヵ月後のいつだかわからない日の曜日を求めさせる面倒くささ。

2.平面図形 やや易 所要時間 4分
唯一の「やや易」。だが偏差値50程度の学校で出したら正解率2割程度に違いない。
解き方がわからないのは論外だが、計算を開始するとあっさり小数第3位に突入してその後もひたすら計算させられる。これをミスしたら落ちるというプレッシャーの中解くのはきつい。

3.立体図形  所要時間 4分
例年投影図とかイミフな立体図形がでる桜蔭の名物、3番。にしても、これはきついwwwww女の子にこれ解かせるとかwww
30分かければ絶対できるけど、5分程度で解かなければならないことを考えると、文句なしの「難」評価。
ちなみに、はなうは、音速ですべての点に記号を振ってから解きました。そのほうがミスが減る。

4.規則性 やや難 4分
(2)までなら「易」。ある意味この(1)(2)が問題セット唯一のオアシス。
反面(3)が大変。以下のように解いたけど、どうやっても大変。


4(3)解き方
(2)のように回転しないで積み重ねたとき、3と重なっているカードの和は、
4950(2番の答え)+ 2×50 =5050 である。

ここで、回転したときと回転しなかったときの数の違いを比べると
回転あり 3 6 9 16 19 22 25 32 35
回転なし 3 7 11 15 19 23 27 31 35
2つの差 0 -1 -2 +1 0 -1 -2 +1 0

となる。4回で繰り返していて、4回セットで考えると、
回転ありの方が回転なしよりも2少ないことがわかる。

50÷4=12セットあまり2なので
5050−12×2−0−1(ここはあまり2の分)=5025。

5.速さ やや難 所要時間 6分

面倒くさいのキワミ。(3)で分数が登場して不安になり、(4)でさらに分数が複雑になり不安になっていく。大体割り切れるように一周420cmとかしておけよ・・・・って感じ。最後にきてこの計算をさせられる生徒カワイソス。

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2009年 麻布 算数

(2/3追記 4番の解き方直しました)

開成に引き続き、麻布

2009年 麻布 算数
60分 60点満点
はなうの所要時間 26分

総評:
これぞベストバランス! 


開成よりはずっと骨っぽいと思う。麻布のレベルを考えると、これは差がつくセット。3割しかできない生徒と8割できる生徒が現れるだろう。ちょうど良い問題セット、とはこういうのを言うと思う。バランスの良いテレビゲームに出会ったときに近い感覚。

個別の問題では、作図的問題がなくなっている以外とくに傾向は変わらない。麻布特有の
時間不足に陥る生徒が多そう。3番は5分考えたらあきらめて次にいったほうがよい。

個別評:(時間は、はなうの所要時間)

1.数の性質 普通 4分
意外と見たことのないルール。惜しむらくは、(1)△侶彁擦非常に工夫できるものであるので、それを利用した面白い問題にしてほしかったところ。
<2009,9>+<49.33>とかしてほしかった。

2.速さ  3分
今回のセットで、これだけは間違えてはいけない。落ち着いて解くべき。

3.数の性質 やや難 6分
受験生のレベルを考えたら「難」にしてもよい。こういうの易にする分析よくあるけど、もしそうだったらその分析は信用しないほうが良いと思う。実際に受験の緊張感の中、3番という中途半端な場所でこんな書き出しを出されたら、まず完答できない。
6個書ければ十分及第点。
ところで、この問題、解き方ないよね?あったら教えてほしい。

↓一応はなうの解答例

和が48で5個選ぶ問題であり、すべて奇数を選ぶと、和が偶数にならないので、1個は少なくとも偶数を選ばなくてはならない。また、2個以上偶数を含むと公約数が2になるので、偶数は必ず1個である。

選んだ偶数が6のとき
残り・・42
もっとも少ない奇数の組は5,7,11,13で36。9は使えない。残り6をどこかに振り分けて足し算しながら最後は書き出す。15は使えないことに注意。

5,7,11,19
5,7,13,17
これに6を加えたものが答え。
⇒答え(5,6,7,11,19)と(5,6,7,13,17)

選んだ偶数が8のとき
残り・・40
もっとも少ない奇数の組は5,7,9,11で32。9も使える。残り8を振り分けながら足し算する。5と15を両方使うとダメなことに注意しながら書き出し。

(5,7,9,11のどれか1つに8を足す場合)
5,7,9,19
5,7,17,11
5,15,9,11(5と15があるのでダメ)
13,7,9,11
⇒答え(5,7,8,9,19)と(5,7,8,11,17)と(5,7,9,11,13)

(5,7,9,11のどれか1つにに2、どれか1つに6を足す場合)
5,7,11,17(上ですでにあげている)
5,7,13,15(5と15があるのでダメ)
どうやってもうまくいかない。

(5,7,9,11のどれか2つにに4を足す場合)
5,7,13,15(5と15があるのでダメ)
どうやってもうまくいかない。

選んだ偶数が10のとき
残り38、最小の奇数は7,9,11,13で合計40なので不可能

選んだ偶数が12のとき
残り36、最小の奇数は5,7,11,13で合計36なのでぴったりこれがOK。ほかにはない。
⇒答え(5,7,11,12,13)

選んだ偶数が14のとき
残り34、最小の奇数は5,9,11,13で合計38なので不可能

選んだ偶数が16のとき
残り32、最小の奇数は5,7,9,11で合計32なのでぴったりこれがOK。ほかにはない。
⇒答え(5,7,9,11,16)

全体の最小の奇数である5,7,9,11を使った答えがあるので、これ以上の偶数は必ず不可能。

以上7つが答え。


大変〜(汗汗)。簡単にどうやるのー。


4.速さ&規則性 やや難 7分
(2)がとても面白い。良問。はなうはこう解いた。

円周を6等分して、上から半時計周りに1,2,3,4,5,6と名づける。
   0分:3分:6分:9分:12:15:18
A:::1:2:1:2:3:4:3 
B:::3:2:3:4:5:4:5
C:::5:6:1:6:5:6:1
出会:×:○:○:×:○:○:×

この18分が、0分の状態から120度回転したものなので、これを3回やると元に戻る。
9分後が、スタートから60度回転した状態なので、これを6回繰り返せば元に戻る
(おおばさんの指摘により、9分後と18分後は進行方向が違うため、厳密な繰り返しは27分後であることがわかりました。)

5.平面図形  1分
これをできない人は試験会場にいたことを後悔したほうが良い。偏差値を10以上下げた学校を受けるべし。


6.割合 やや難 5分
意外と解きやすい問題。麻布の最後にありがちな、見掛け倒し風問題。ただ、受験者のレベルを考えて、やや難に分類。
ポイントは、(1)では水の量を16に、(2)では81にすること。3の累乗にすることで、いくら分割しても整数のまま整理できるからミスしない。あとは確かめながら落ち着いて計算するだけ。
数学・算数hanauコメント(6)/トラックバック(3)

2009年 開成 算数

(※2/3追記 色々直しました。)

昨日は中学入試です。
今年はインターエデュで大して公開されないのであんまり解けない・・しょぼん。

さっそく算数といてみました。まずは開成。問題はこちら

2009年開成 算数

60分 100点 85点満点
はなうの所要時間 22分 

総評:
これが現代の生徒に求めているレベルなのか・・・
2年ぶりに解いたが、近年の傾向どおりやや簡単めの問題。例年よりももう一回り簡単になった気がする。
特にびっくりするような問題はなく、6割(50点)以上解けてようやくスタートライン、
算数で差をつけたいなら最低8割(70点)ほしいところ。

(考察)
簡単と書いたが、開成の合格者平均点−受験者平均点を考えると、これ以上難しくするとさらに算数偏重になってしまうのだろう。

開成の合格者平均−受験者平均(2008年の参考値)
算数12.4 国語7.0 理科5.6 社会4.4

算数が最も分散が高いと思われ、これ以上分散が高くなる問題にはしづらいのではないだろうか・・

それを考えると、筑駒や桜蔭など開成より圧倒的に算数が難しい学校は、さらに算数偏重とも言えるのだろう。(
麻布は算数も差がつくが国語も同様に差がつくのでこれに類さない。)



個別評:(以下所要時間は、はなうの所要時間。受験生なら1.5倍が目安。)

1.平面図形  所要時間:4分
補助線引かずとも相似形がいっぱいあるので、あるものを最大限活用するだけ。
(3)のGHIはGBC×(13/23)×(13/17)と解くのが最も近道。
これに気づかずとも全体から引いても解けるし特に問題ない。
できなきゃ落ちる。

2.割合・比 やや易 所要時間:8分
日本円での先月の肉代を「まる1」、輸送代を「しかく1」とおいて、後は適当に解けばいつの間にか解ける。(1)が綺麗に割り切れる関係もあって、数字設定が易しさを増している。
ちょっと数字が多いので時間はかかったが、丁寧に解いて完答したい。

(2/3追記 おおばさんの指摘もあって、易⇒やや易に変更しました。)

3.割合  所要時間:4分
びっくりするくらい簡単な問題。誘導が簡単すぎる。センター試験のようなわかりやすい誘導。(1)は必要だったのか???これがないと解けない生徒は落としたほうがよいと思う。
これが解けない生徒は俺の生徒には絶対いない。

4.規則性 普通 所要時間:6分
ようやく開成らしい問題。だが、相変わらず誘導が多すぎる。これだけ誘導あったら誰でもそれなりに解けるでしょ。各設問の前ふりの、「もし必要ならばこのことを用いて」はすべて不要。まったく不要。

(5)だけそれなり。だがこれも普通できると思う。
本番では、この問題に20分以上かけることができると思うので、最後は丁寧に解けばよいだけ。

(5)2009-1024=985 なので、986枚目にとったカードの1個前が答え。
986枚目は、1+985×2=1971 なので、1970.
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センター解いた

今日は1/31ですね。中学受験業界(関東)にとっては明日は運命の日ですね。
ちなみに今年はサンデーショック(業界用語)です。

さて、思い立ってセンター試験の数学を解いてみました。4、5年ぶり?

数学毅繊。械喫 97点
数学僑臓。苅科 98点

どちらもアホすぎるミスをしてしまった・・
それはともかく、すごく時間がかかった。まあ色々思い出しながらだったけど。
たまには数学解くのも良いね。正弦定理とか久々に使った。

正弦定理は内接円と外接円のどちらの半径が求まるかを忘れて、しょうがないから導いたwww

センター試験て、当事者じゃなくて解くと、ほんと誘導がイミフなのが良くわかる。ただ、公式を暗記していなくても誘導の意図を1個1個考えていけば解けるようにできている。ある意味頭のよさを求めていて、意外と良い問題なのではないかと思った。ただ、これが日本の全受験者をランク付けするための試験かというと、それはちょっと違う気がする。もうちょっと努力賞でもよいような・・・

逆にこの試験ってもうちょっと簡単にして社会人の入社試験にすればよいような。いや、会社員で35歳くらいに解かせるのも面白い、とか思ったりして。

しかし、両方とも1問間違えるとは。(/ω\)ハズカシーィ
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算数の話

先週の算チャレ。

「ぱっと見算数でとけるとは思えない問題」としては歴代屈指の問題。

好きな人はぜひ考えてもらいたい。特にobaさん

さんすう
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分数の割り算ファイナル

これで終わりにしたい分数の割り算話。


おーばさんの、

>2.が気になる。どういう理由ってことにするか。

に対しての自分なりの見解。

3/4 ÷ 5/7 =21/20 を教えるとしよう。

↓算数の話
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大人は、「なぜ分数の割り算は逆にしてかけるのか」を子供にどう教えると良いのか

前エントリーを読まないと意味がわからない記事です。

大人は、「なぜ分数の割り算は逆にしてかけるのか」を子供にどう教えると良いのか。という算数界の一大問題に対しての はなうなりの意見。


結論から書くと、

1.理由は理解しなくてもよいと教える
2.理由は一応教える 
3.理由は中学生になればわかると教える
4.その上で分数のかけ算・割り算を結構な量練習させる
5・文章題は計算ができるようになってから教える
6.6年生か中学生になったらもう一度理由を教える


つまり、

そのうちわかるからとりあえず使え

と、信念を持って言う 

ということです。
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